二叉树三种遍历顺序互求

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本文总结下二叉树前序、中序、后序遍历相互求法，即如果知道两个的遍历，如何求第三种遍历方法。

比较笨的方法是画出来二叉树，然后根据各种遍历不同的特性来求，也可以编程求出，下面我们分别说明。

首先，我们看看前序、中序、后序遍历的特性：

前序遍历：

  1. 访问根节点
  2. 前序遍历左子树
  3. 前序遍历右子树

中序遍历：

  1. 中序遍历左子树
  2. 访问根节点
  3. 中序遍历右子树

后序遍历：

  1. 后序遍历左子树
  2. 后序遍历右子树
  3. 访问根节点

前序+中序，求后序

前序遍历: GDAFEMHZ

中序遍历: ADEFGHMZ

画树求法

第一步，根据前序遍历的特点，我们知道根结点为G

第二步，观察中序遍历ADEFGHMZ。其中root节点G左侧的ADEF必然是root的左子树，G右侧的HMZ必然是root的右子树。

第三步，观察左子树ADEF，左子树的中的根节点必然是大树的root的leftchild。在前序遍历中，大树的root的leftchild位于root之后，所以左子树的根节点为D。

第四步，同样的道理，root的右子树节点HMZ中的根节点也可以通过前序遍历求得。在前序遍历中，一定是先把root和root的所有左子树节点遍历完之后才会遍历右子树，并且遍历的左子树的第一个节点就是左子树的根节点。同理，遍历的右子树的第一个节点就是右子树的根节点。

第五步，观察发现，上面的过程是递归的。先找到当前树的根节点，然后划分为左子树，右子树，然后进入左子树重复上面的过程，然后进入右子树重复上面的过程。最后就可以还原一棵树了。该步递归的过程可以简洁表达如下：

  1. 确定根,确定左子树，确定右子树。
  2. 在左子树中递归。
  3. 在右子树中递归。
  4. 打印当前根。

那么，我们可以画出这个二叉树的形状
image

那么，根据后序的遍历规则，我们可以知道，后序遍历顺序为：AEFDHZMG

编程求法

依据上面的思路，写递归程序

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#include <iostream>
#include <fstream>
#include <string>

using namespace std;

struct TreeNode
{
    struct TreeNode* left;
    struct TreeNode* right;
    char  elem;
};

void BinaryTreeFromOrderings(char* inorder, char* preorder, int length){
    if(length == 0){
        return;
    }
    TreeNode* node = new TreeNode;//Noice that [new] should be written out.
    node->elem = *preorder;
    int rootIndex = 0;
    for(; rootIndex < length; rootIndex++){
        if(inorder[rootIndex] == *preorder)
            break;
    }
    //Left
    BinaryTreeFromOrderings(inorder, preorder +1, rootIndex);
    //Right
    BinaryTreeFromOrderings(inorder + rootIndex + 1, preorder + rootIndex + 1, length - (rootIndex + 1));
    //Root
    cout << node->elem <<endl;
    return;
}


int main(){
    char pr[]="GDAFEMHZ";
    char in[]="ADEFGHMZ";

    BinaryTreeFromOrderings(in, pr, 8);

    cout << endl;
    return 0;
}

输出的结果为：AEFDHZMG

中序+后续，求前序

依然是上面的题，这次我们只给出中序和后序遍历：

中序遍历: ADEFGHMZ

后序遍历: AEFDHZMG

画树求法

第一步，根据后序遍历的特点，我们知道后序遍历最后一个结点即为根结点，即根结点为G。

第二步，观察中序遍历ADEFGHMZ。其中root节点G左侧的ADEF必然是root的左子树，G右侧的HMZ必然是root的右子树。

第三步，观察左子树ADEF，左子树的中的根节点必然是大树的root的leftchild。在前序遍历中，大树的root的leftchild位于root之后，所以左子树的根节点为D。

第四步，同样的道理，root的右子树节点HMZ中的根节点也可以通过前序遍历求得。在前后序遍历中，一定是先把root和root的所有左子树节点遍历完之后才会遍历右子树，并且遍历的左子树的第一个节点就是左子树的根节点。同理，遍历的右子树的第一个节点就是右子树的根节点。

第五步，观察发现，上面的过程是递归的。先找到当前树的根节点，然后划分为左子树，右子树，然后进入左子树重复上面的过程，然后进入右子树重复上面的过程。最后就可以还原一棵树了。该步递归的过程可以简洁表达如下：

  1. 确定根,确定左子树，确定右子树。
  2. 在左子树中递归。
  3. 在右子树中递归。
  4. 打印当前根。

这样，我们就可以画出二叉树的形状，如上图所示，这里就不再赘述。

那么，前序遍历: GDAFEMHZ

编程求法

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#include <iostream>
#include <fstream>
#include <string>

using namespace std;

struct TreeNode
{
    struct TreeNode* left;
    struct TreeNode* right;
    char  elem;
};


TreeNode* BinaryTreeFromOrderings(char* inorder, char* aftorder, int length){
    if(length == 0){
        return NULL;
    }
    TreeNode* node = new TreeNode;//Noice that [new] should be written out.
    node->elem = *(aftorder+length-1);
    cout << node->elem << endl;
    int rootIndex = 0;
    for(; rootIndex < length; rootIndex++) //a variation of the loop{
        if(inorder[rootIndex] ==  *(aftorder+length-1))
            break;
    }
    node->left = BinaryTreeFromOrderings(inorder, aftorder , rootIndex);
    node->right = BinaryTreeFromOrderings(inorder + rootIndex + 1, aftorder + rootIndex , length - (rootIndex + 1));

    return node;
}

int main(){
    char af[]="AEFDHZMG";
    char in[]="ADEFGHMZ";
    BinaryTreeFromOrderings(in, af, 8);
    cout << endl ;
    return 0;
}

输出结果：GDAFEMHZ